91是质数吗_百度网盘,91是质数么.

大数整数分解是当今世界数学难题之一，现在对大数整数分解已经有很多方法，其中最基础和最熟悉的是试除法。

试除法是对任意充大的大数，由小到大依次试除质数，当大数能被两个以上除数整除称为合数，当大数只能被1和它本身整除称为质数。

试乘法是对非完全平方大数不断试乘，使试乘大数每乘一次就开一次根号，当开根号后的数，达到大数的两个整数因子数的相对平衡点时，且能求出零点。取试乘大数开根号后的整数和（整数+1）相乘的乘积，以此为试乘大数开根号后整数平方和（整数+1）平方的1/2直线，且作为被减数，减试乘大数，当其差也可以分解为整数乘（整数+1）时。

①非完全平方大数除以试乘大数开根号后的（整数减其差分解后的整数），就可以求出大数整数的一个因子数，且大数的整数因子数会出现在分母里。

②非完全平方大数除以试乘大数开根号后的（整数+1再加其差分解后的整数），就能求出大数整数另一个因子数，且大数整数的因子数也会出现在分母里。

关键词：试乘、开根号、平衡点、零点、1/2直线

大数整数分解试乘法

大数P乘c，当√Pc达到平衡点，且有零点，就可以求出P的两个整数因子数x和y，也称天平原里。

已知P为正整数，x和y为P的两个整数因子数，试乘数为c。√P≠整数，x和y互为质数，P>3，x<y，2≤c≤（P-x）。

由于√P≠整数，所以√Pc≠整数。令√Pc=R.t，（R为整数，t为小数，且0<t<1）。

由此得，R<√Pc<（R+1），当对R<√Pc<（R+1）两边同时进行平方得R^2<Pc<（R+1）^2，取R（R+1）为R^2～（R+1）^2之间的1/2直线，且以R（R+1）为R^2～（R+1）^2的分界线，就把R^2～（R+1）^2一分为二。

①、在√Pc=R.t里，当0<t<0.5时，R^2<Pc<R（R+1），且R（R+1）-Pc>0，为正整数。

②、在√Pc=R.t里，当0.5<t<1时，R（R+1）<Pc<（R+1）^2，且R（R+1）<Pe<（R+1）^2，为负整数。

已知非对称大数P=xy（x<y），试乘数为c，x和y可以分解为x=a+b，y=m+n，（a、b、m、n为正整数，a<b，m<n，且两两都互质）。由此得：P=（a+b）（m+n），当试乘数c分别为c1=am，c2=bn时，以c1=am或c2=bn分别乘以大数P，然后再开根号，得：√Pc1=R1.t或√Pc2=R2.t，（R1、R2为整数，0<t<1）。当√Pc达到平衡点时且有零点，取√Pc1或√Pc2的各自的1/2直线，即R1（R1+1）和R2（R2+1），有R1（R1+1）-Pc1=H=R2（R2+1）-Pc2，从而就能求出非对称大数P的两个整数因子数x和y。而√Pc1=R1.t加√Pc2=R2.t的和是介于（P-1）～P之间一个数。取√Pc1和√Pc2的整数R1和R2相加，即：R1+R2=P-1。

在√Pc=R.t里，当0<t<0.5时，有下列两种方法，可以求出大数P的两个整数因子数x和y。

说是两种方法，其实它们的算法、步骤都一样，只是当√Pc1或√Pc2分别达到平衡点且有零点时，以大数P为被除数，再分别以√Pc1和√Pc2的1/2直线所求出的零点数为除数，就能求出P的两个整数因子数x和y，大数P的整数因子数x和y都会出现在分母里，且分子数分别为a、m、b、n。

一、大数整数分解试乘法公式如下：

已知非对大数P ，求P的两个整数因子数。

根据已知条件得：

P=xy，√P≠整数，P>3，x<y，x和y互质，x=a+b，y=m+n，试乘数c分别为c1=am，c2=bn，（a、m、b、n两两互质），且√Pc≠整数。

①当√Pc=√Pc1=√Pam=R1.t，（R1为整数，0<t<0.5）。

取：R1（R1+1）-Pc1=H，（H为正整数，）

H可以分解为：H=k（k+1），由此把k分别代入R1和（R1+1）

得

（R1-k）（R1+1+k）-Pc1=0

取

P÷（R1-k）=x/a

P÷（R1+1+k）=y/m

②在√Pc=√Pc2=√Pbn=R2.t时，与√Pc1=R1.t的算法和步骤完全一样。

√Pc=√Pc2=√Pbn=R2.t

R2（R2+1）-Pc2=H

H=k（k+1）

（R2-k）（R2+1+k）-Pc2=0

P÷（R2-k）=y/n

P÷（R2+1+k）=x/b

例如：已知大数90361，试乘数c分别为c1=1*8，c2=（109-1）（829-8）=108*821，求90361的两个整数因子数x和y？

①：当90361*1*8=722888

√722888≈850.2

850（850+1）-722888=462

462=21（21+丨）

（850-21）（850+1+21）-722888=0

90361÷（850-21）=109/1

90361÷（850+1+21）=829/8

②当90361*（109-1）*（829-8）=90361*108*821=8012129148

√8012129148≈89510.4

89510（89510+1）-8012129148=462

462=21（21+1）

（89510-21）

（89510+1+21）-8012129148=0

90361÷（89510-21）=829/821

90361÷（89510+1+21）=109/108

从上面的两个举例可以看到，90361的两个整数因子数109和829，都分别出现在分母里，而√Pc1和√Pc2的分子数分别为：1、8和108、821，在√90361*1*8和√90361*108*821里，分别取它们两个开根号后的整数相加，即850+89510=90360=90361-1。

以上为√Pc=R.t时，0<t<0.5的大数整数分解试乘法。

如何能证明大数整数分解试乘法的成立，可以从以下几个方面去考虑。

①大数整数分解试乘法，其实就是对大数P的两个整数因子数x和y（x<y）分别进行试乘，使x和y达到相对平衡，从而求出大数的两个整数因子数x和y。这就好比x和y分别为不同重量的两个物体。由于x<y，所以令x为轻物体，y为重物体，以大数P为支称点，这样就可以构建一个天平，把x和y分别放在以大数P支称点的天平两边，那么轻物体x和重物体y就不会达到相对的平衡，这时就要对轻物体x加a个相同的轻物体x，和对重物体y加m个相同的重物体y（a>m，a、m互质），最终使x和y最到一个相对平衡点，从而就能求出大数P的两个整数因子数x和y，故称大数整数分解试乘法也为天平原理。

例如，已知203=7*29，x=7，y=29，由于7<29，当7*4=28，即x取4份7=28与y取1份29=29就达到相对平衡。那么取√203*4*1≈28.49，再取28*（28+1）-203*4*1=0，再用203÷28=29/4，203÷（28+1）=7/1，从上面举例得到203的两个整数因子数7和29都出现在分母里，分子分别为4和1。

②任意大于零的两个连续自然数a^2～（a+1）^2之间的1/2直线为a（a+1）。

4^2～5^2之间的1/2直线为20=4*5

5^2～6^2之间的1/2直线为30=5*6

③任意充分大的整数P^2-1可以分解为（P-1）（P+1），这是平方差公式，当P分解为a-1代入（P-1）（P+1）则有a（a+2）。

④在连续两个自然数平方a^2和（a+1）^2里，取a（a+1）为a^2和（a+1）^2之间的1/2直线，当a-q和a+1+q再相乘时，即（a-q）（a+1+q），q为1、2、3……（a-1）。当q值逐渐增大时，（a-q）（a+1+q）会以等差数列方试第减。

例如：

9^2至10^2之间的1/2直线为90=9*10

取：9*10=90

（9-1）（10+1）=88，90-88=2

（9-2）（10+2）=84，88-84=4=2+2

（9-3）（10+3）=78，84-78=6=2+4

（9-4）（10+4）=70，78-70=8=2+6

（9-5）（10+5）=60，70-60=10=2+8

（9-6）（10+6）=48，60-48=12=2+10

（9-7）（10+7）=34，48-34=14=2+12

（9-8）（10+8）=18，34-18=16=2+14

⑤根据上面的一些规律，就可以得到一个多项式对大数进行整数分解。

已知大数P=xy（x<y），√P≠整数，√P=R.t，（R为整数，t为小数），由于P为非对称大数，所有在√P=R.t里，x<R<y，取√P的1/2直线为R（R+1），当R-q和R+1+q再相乘时，（q为1、2、3、……、R-1），随着q的逐渐增大，（R-q）（R+1+q）是以等差数列第减，而大数P为R^2～（R+1）^2之间任意一个整数，即：R^2<P<（R+1）^2。

由此得大数整数分解多项式方程为：

（R-q）（R+1+q+k）-P=0

（K为1、2、3、……、R）

x和y分别为：

x=R-q

y=R+1+q+k

①：当（R-q）（R+1+q）-P>0时，k=0。

②：当（R-q）（R+1+q）-P<0时，（K为1、2、3、4……R）。

例如，分别取两个整数为85和91，分别求它们两个的整数因子数x和y？

85和91都介于9^2～10^2之间。现在用多项式对85和91分别进行大数整数分解。

由于9^2～10^2的1/2直线为90=9*10

①：取9*10-85=5

（9-1）（10+1）-85=3

（9-2）（10+2）-85=-1，-1<0

（9-2）（10+2+1）-85=6

（9-3）（10+3+1）-85=-1，-1<0

（9-3）（10+3+2）-85=5

（9-4）（10+4+2）-85=-5，-5<0

（9-4）（10+4+3）-85=0

x=9-4=5

y=10+4+3=17

至此完成了用多项式对85的整数分解。

②：取9*10-91=-1，-1<0

（9）（10+1）-91=8

（9-1）（10+1+1）-91=3

（9-2）（10+2+1）-91=0

由此得：

x=9-2=7

y=10+2+1=13

通过对上面几点的考虑，就有可能证明大数整数分解__试乘法的成立。

二、关于在√Pc=R.t里，0.5<t<1的两个算法。

其实与0<t<0.5的算法和步骤都一样，唯一不同的是在0<t<0.5时，取√Pc的1/2直线R（R+1），R（R+1）-Pc≥0，为正整数。即（R-K）（R+1+k）-Pc有零点，能求出大数P的两个整数因子数。而在0.5<t<1时，取√Pc的1/2直线R（R+1），当R（R+1）-Pc是小于0，为负整数，由于是负整数就不能求出正整数根。因为在连续两个自然平方a^2和（a+1）^2里，取1/2直线a（a+1），当（a-q）（a+1+q）时，随着q的逐渐增大，（a-q）（a+1+q）是以等差数列第减，把（a-q）（a+1+q）换成（R-k）（R+1+k）是同样的以等差数列第减。所以在√Pc=R.t里，当0.5<t<1时，取√Pc=R.t的1/2直线为R（R+1），在R（R+1）-Pc<0时，为负数，不能进行正整数运算，这时在（R+1里加1）再乘R，即R（R+2），这时R（R+2）-Pc≥0，就能进行正整数运算，且有零点，能求出大数P的两个整数因子数。

其公式如下：

已知大数P=xy，√P≠整数，P>3，x<y，x和y互质，x=a+b，y=m+n，试乘数c分别为c1=am，c2=bn，a<b，m<n，a、b、m、n两两互质，√Pc≠整数。

①当√Pc=√Pc1=√Pam=R1.t，（R1为整数，0.5<t<1）

当取R1（R1+1）-Pc1<0，为整负数，没有正整数根。

故取R1+1再1等于R1+2，有

R1（R1+2）-Pc1≥0，有正整数根

R1（R1+2）-Pc1=H，H为正整数

H可以分解为：H=k（k+2），由此把k分别代入R1和R1+2

得：

（R1-k）（R1+2+k）-Pc1=0

取

P÷（R1-k）=x/a

P÷（R1+2+k）=y/m

②在√Pc=√Pc2=√Pbn=R2.t，与√Pc1的算法、步骤完全一样。如下

√Pc=√Pc2=√Pbn=R2.t

R2（R2+1）-Pc2<0，为负数

R2（R2+2）-Pc2≥0，为正整数

R2（R2+2）-Pc2=H，H为整数

H=k（k+2）

（R2-k）（R2+1+k）-Pc2=0

取

P÷（R2-k）=y/n

P÷（R2+1+k）=x/b

例如，再用已知大数90361，试乘数c分别为c1=3*23，c2=（109-3）（829-23）=106*806，分别求90361的两个整数因子数x和y？

①当90361*3*23=6234909

√6234909≈2496.98

2496（2496+1）-6234909=-2397<0

2496（2496+2）-6234909=99

99=9（9+2）

（2496-9）（2496+2+9）-6234909=0

取

90361÷（2496-9）=109/3

90361÷（2496+2+9）=829/23

②当90361*106*806=7720082396

√7720082396≈87863.9994

87863（87863+1）-7220082396=-31686224<0

87863（87863+2）-7220082396=99

99=9（9+2）

（87863-9）（87863+2+9）-7220082396=0

取

90361÷（87863-9）=829/806

90361÷（87863+2+9）=109/106

②当90361*106*806=7720082396

√7720082396≈87863.9994

87863（87683+1）-7720082396=-31686224<0

87863（87863+2）-7720082396=99

99=9（9+2）

（87863-9）（87863+2）-7720082396=0

取

90361÷（87863-9）=829/806

90361÷（87863+2+9）=109/106

从上面的两个举例可以看到，90361的两个整数因子数109和829，都分别岀现在分母里，而√Pc1和√Pc2的分子数分别为3、23和106、806。在√Pc1=90361*3*23和√Pc2=90361*106*806里，分别取它们开根号后的整数相加，即2496+87863=90539=90361-2，与90361差2。

以上为√Pc=R.t里，0<t<0.5的大数整数分解试乘法。

三、如果已知xy=P，这时对大数P进行逆运算，则有

已知大数P，试乘数c为P-x，求大数P的两个整数因子数x和y？（x<y）

即：

√Pc=√P（P-x）=R.t（R为整数，0<t<0.5）

R（R+1）-Pc=H（H为整数）

H=k（k+1）=（x-2）/2*[（x-2）/2+1]

（R-k）（R+1+k）-Pc=0

取

P÷[R-（x-1）/2]=y/（y-1）

P÷[R+1+（x-1）/2=x/x=1

例如，17×53=901，901-17=884

已知大数901，试乘数为884，求901的两个整数因子数x和y？

901*884=796484

√796484≈892.45

892*（892+1）-796484=72

72=8*（8+1）=（17-1）/2*[（17-1）/2+1）

（892-8）（892+1+8）-796484=0

取

901÷（829-8）=53/52

901÷（829+1+8）=17/17=1

其中√P（P-x）开根号后的数值与黎曼猜想的非凡零点数值有一些是比较接近的。那么√P（P-x）开根号后的数值与黎曼猜想的非凡零点数值是否有关联，望各位对此感兴趣的网友去研究。

例如，黎曼猜想非凡零点数值：

①：14.134725142

√15（15-3）≈13.4164

②：21.022039639

√23（23-3）≈21.4422

③：25.010857580

√27（27-3）≈25.4558

④：30.424876126

√32（32-3）≈30.4631

当R（R+1）-Pc>0时，有零点，能把大数P的两个整数因子数x和y分解出来，√Pc的小数大于0，小于0.5，这是否为1/2的实部。

当R（R+1）-Pc<0时，无零点，不能进行整数分解，√Pc的小数大于0.5，小于1，这是否为1/2的虚部。

以上为大数整数分解试乘法的全部算法。

论小于给定数值的质数个数

一个任意充分大的整数P，如果想知道在P值范围内有多少个质数，可以用高斯素数定理求出P值范围内的质数个数，现在可以用另一个方法计算出P值范围内的质数个数。在自然数内，有一个天然分界线即以平方数为分界线，可以有序的把自然数分开。以两个连续自然数a^2～（a+1）^2为一组，就可以无缝隙的把整个自然数连接起来，且在a^2～（a+1）^2之间任意取一个整数开平方都没有整数。随着自然数a的逐渐增大。a^2～（a+1）^2之间数的个数会逐渐增多。取任意充分大的整数P，假设能分解出无穷多个a^2～（a+1）^2，任意取一组a^2～（a+1）^2之间数的个数，都一定小于P值内数的个数，这就是小于给定数值的个数。如果有一个公式能计算出每一组a^2～（a+1）^2之间数的质数个数，至到整数P的R^2～（R+1）^2之间数的质数个数。（R为√P=R.t的整数，R^2<P<（R+1）^2），再求出R^2～P之间数的质数个数。把整数P值内，计算出的每一组a^2～（a+1）^2之间数的质数个数依次相加至R^2～P之间数的质数个数，即为整数P值内的质数个数。

例如，整数P为100，可以用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10平方数为100的分界线，取0^2～1^2为一组，1^2～2^2为一组，……，9^2～10^2为一组，这样就把100无缝隙连在一起。

0^2～1^2之间有0个数

1^2～2^2之间有2个数：2、3

2^2～3^2之间有4个数：5、6、7、8

3^2～4^2之间有6个数：10、11、12、13、14、15

通个上面举例发现，在a^2～（a+1）^2之间数的个数都为偶数，且以2的等差数列第增。由此计算出在a^2～（a+1）^2之间数的个数为a+a+1-1=2a。在整个自然数里分偶数与奇数，故2a÷2=a，这表示在a^2～（a+1）^2之间有a个偶数和a个奇数。由于奇数分为合数与质数，合数是由二个或二个以上的质数相乘的乘积构成，故取小于等于a的质数除奇数a，则能去掉a^2～（a+1）^2之间数的合数，剩下的数则为a^2～（a+1）^2之间数的计算质数个数。

在a^2～（a+1）^2里有a个奇数，令小于等于a的质数由大到小分别为q1、q2、q3、……、3依次除a。当a为质数，q1为a，当a为合数，q1为a内最大质数，

其计算公式如下：

a÷q1=k1+t，（k为整数，t为小数，当t<0.5时，t=0，当t>0.5时，t=1，后面同理）

（a-k1-t）÷k2=k2+t

（a-k1-t-k2-t）÷k3=k2+t

……

（a-k1-t-k2-t-k3-t-……）÷3=M+t，（M为整数，t为小数）

取整数M即为a^2～（a+1）^2之间数的计算质数个数。

在a^2～（a+1）^2之间有a个奇数。

①、当a<3，a^2～（a+1）^2之间数的奇数都为质数。

1^2～2^2之间有1个奇数3，由于奇数1<3，所以只有1个质数3。

2^2～3^2之问有2个奇数5、7，由于奇数2<3，所以有2个质数5、7。

②、当a≥3时，则用上面的公式计算a^2～（a+1）^2之间的质数个数。

3^2～4^2之间有3个奇数11、12、13，3个奇数等于质数3。故取3÷3=1，3-1=2，表示3^2～4^2之间有2个计算质数，而实际质数是2个。

4^2～5^2之间有4个奇数17、19、21_23，奇数4>3，而在4～3内有1个质数3，用4÷3=1.3，0.3<0.5，故t=0，即4-1-0=3，表示4^2～5^2之间有3个计算质数，而实际质数3个。

5^2～6^2之间有5个奇数27、29、31、33、35，奇数5>3，而在5～3内有2个质数5、3，取5÷5=1，5-1=4，4÷3=1.3，0.3<0.5，即4-1-0=3，表示在5^2～6^2之间有3个计算质数，实际有2个质数。计算质数个数比实际质数个数多1个质数。

6^2～7^2之间有6个奇数37、39、41、43、45、47，在6～3内有2个质数3、5，取6÷5=1.2，0.2<05，故t=0，6-1-0=5，5÷3=1.6，0.6>0.5，故t=1，即5-1-1=3，表示在6^2～7^2之间有3个计算质数，实际有3个质数。

7^2～8^2之间有7个奇数51、53、55、57、59、61、63，在7～3内有3个数7、5、3，取7÷7=1，7-1=6，6÷5=1.2，6-1=5，5÷3=1.6，0.6>0.5，故t=1，5-1-1=3，表示在7^2～8^2之间有3个计算质数，实际有3个质数。

8^2～9^2之间有8个奇数65、67、69、71、73、75、77、79，在8～3内有3个质数7、5、3，

9^2～10^2之间有9个奇数83、85、87、89、91、93、95、97、99，在9～3内有3个质数7、5、3，取9÷7=1.2，9-1=8，8÷5=1.6，8-2=6，6÷3=2，6-2=4，表示在9^2～10^2之间有4个计算质数，实际有3个质数，计算质数比实际质数多1个质数。

把100内每一组a^2～（a+1）^2之间所计算出的质数个数相加得：1+2+2+3+3+3+3+4+4=25，由于2是偶数，且是唯一1个偶数质数。故1+25=26，表示在100内有计算质数26个，而实际有25个质数，故相差1个质数。

③、随着自然数a的逐渐增大，在a^2～（a+1）^2之间数的个数逐渐增多，这时在合数里会有越来越多的三个或三个以上的质数相乘的乘积，在计算的过程中就会有漏掉的合数个数混入质数个数里，其计算质数个数与实际质数个数就会有一定误差，这时就要构建一个大?系数去校正它们之间质数个数的误差。从而提高a^2～（a+1）^2之间质数个数的准确性。

随着自然数a的逐渐增大，首先计算出在a^2～（a+1）^2之间数的质数个数。当a开四次方根号，即5≤√√a<9时，a^2～（a+1）^2之间数的计算质数个数与实际质数个数会有一定误差，即：取小于等于√a～5内的每一个质数依次除√a，把所有计算出来的数，取其商的整数相加，去减a^2～（a+1）^2之间所计算出的质数个数，其差就可以减少与实际质数个数的误差。

在1296^2～1297^2之间有2592个数，偶数有1296个数，奇数有1296个数，在1296～3内有共计199个质数。由大到小依次除1296，小于1296的最大质数为1291，当小数小于0.5，小数取0，当小数大于0.5，小数取1，计算方法如下：

1296÷1291≈1.003，0.003<0.5

（1296-1）÷1289≈1.004

……

（1296-68）÷821≈1.4，0.49<0.5

（1296-68-1）÷811≈1.51，051>0.5

（1296-68-1-2）÷809≈1.51

……

（1296-68-1-2-2-……-76）÷3=102

1296-68-1-2-2-……-76-102=204

经计算在1296^2～1297^2之间有204个质数，而实际有179个质数，故204-179=25，计算质数与实际质数相差25个质数。造成这种原因是因为在计算时，当小数小于0.5时没有计数，故有漏掉的合数混入计算质数里。这时就要构建一个大?系数去校正它们之间的质数个数误差。

故取√√1296=6，由于5<6<9，√1296=36，则取36～5内质数除36。

36～5内质数有31、29、23、19、17、13、11、7、5

36÷31=1.1，36÷29=1.2，36÷23=1.5

36÷19=1.8，36÷17=2.1，36÷13=2.7

36÷11=3.2，36÷7=5.1，36÷5=7.2

把所有计算出来的数，取其整数全部相：1+1+1+1+2+2+3+5+7=23，表示为1296^2～1297^2之间计算质数204-23等于181个质数，实际质数为179个质数，它们之间误差2个质数。这样就提高了a^2～（a+1）^2之间质数个数的准确性。

④、在a^2～（a+1）^2里，当奇数√√a≥9时，与5≤√√a<9的算法一样，先求出a^2～（a+1）^2之间的质数个数，再构建一个大?系数去校正计算质数个数与实际质数个数的误差。不同的是当√√a≥9，取值范围是小于等于√a～3内的质数除√a，而当5≤√√a<9，取值范围是小于等于√a～5内的质数除√a。

在10000^2～10001^2里有20000个数，偶数为10000，奇数为10000，10000～3内有1228个质数。则有

10000÷9971≈1.002，0.002<0.5

（10000-1）÷9883=1.01

……

（10000-394）÷6421=1.49，0.49<0.5

（10000-394-1）÷6397=1.501，0.501>0.5

（10000-394-1-2）÷6389=1.503

……

（10000-394-1-2-2-……-459）÷3=661.33

10000-394-1-2-2-……-459-661=1223

经计算在10000^2～10001^2之间有1223个质数，实际有1081个质数，1223-1081=142，计算质数个数与实际质数个数误差142个质数。

有人会说自然数是无穷的，且质数是无规律，通过上面所举例方程，就能计算岀每个a^2～（a+1）^2之间的质数个数吗？

虽然计算岀的质数个数与实际质数个数有误差，但不有很大误差。

因为一个无穷大的空间，都是由无穷多个有限空间构成。例如1个人、2个人、3个人、……、无穷多个人。假设把1个人、2个人、3个人都看成每一个有限空间，无穷多个人则为无穷多个有限空间。所以有限空间不是无穷多个，则不能构成一个无穷大的空间。自然数是由无穷多个a^2～（a+1）^2构成，而a^2～（a+1）^2之间数的个数是有限，且无缝隙把自然数连接起来。虽然质数是无规律 ，但从已知的计算结果来看，每两个相临的a^2～（a+1）^2之间数的个数相差2个数，所以它们之间的实际质数个数误差不大，且是缓慢渐进的增多。故在计算a^2～（a+1）^2之间的质数个数是有规律可寻。

例如，在a^2～（a+1）^2里有a个奇数。

①当a<3时，则a个奇数都是质数。

②当a≥时，则取小于等于a～3之间的质数除奇数a，从而求出a^2～（a+1）^2之间数的计算质数个数。

③当5≤√√a<9时，先求出a^2～（a+1）^2之间数的计算质数个数，再取小于等于√a～5之间的质数除√a，取其商的整数相加，减先前所求出的计算质数个数，其差与实际质数个数误差不会很大。

④当√√a≥9时，先求出a^2～（a+1）^2之间的计算质数个数，再取小于等√a～3内的质数除√a，取其整数相加，减先前所求出的计算质数个数，其差与实际质数个数误差不会很大。

通过对上面规律的了解，在计算a^2～（a+1）^2之间数的质数个数，还是有规律可寻。因为随着自然数a的不断增大，在a^2～（a+1）^2之间会有越来越多支点，可以构建更多不同的大?系数去校正计算质数与实际质数的误差。

在求a^2～（a+1）^2之间的质数个数时，随着自然数a的不断增大，难度系数会越来越复杂。故需要一个更方便快捷的方法，来求出a^2～（a+1）^2之间的质数个数。

在a^2～（a+1）^2里有a个奇数，当a≥3^2时，则令小于等于√a的质数由大到小为q1、q2、q3、……、2依次除奇数a，当√a为质数，则√a取其整数为q1，当√a取其整数为合数，则q1为√a内最大质数。

其公式如下：

a÷q1=k1+t，（k1为整数，t为小数，只取k1减a，后面同理）

（a-k1）÷q2=k2+t

（a-k1-k2）÷q3=k3+t

……

（a-k1-k2-k3-……）÷2=M+t，（M为整数，t为小数）

取M即为a^2～（a+1）^2之间数的计算质数个数。

在1296^2～1297^2里有1296个奇数，√1296=36>3^2，且5≤√√1296<9，故取小于36～2之间的质数由大到小依次除1296，得

1296÷31=41.8

（1296-41）÷29=43.2

（1296-41-43）÷23=52.6

（1296-41-43-52）÷19=61.05

（1296-41-43-52-61）÷17=64.6

（1296-41-43-52-61-64）÷13=79.6

（1296-41-43-52-61-64-79）÷11=86.9

（1296-41-43-52-61-64-79-86）÷7=124.2

（1296-41-43-52-61-64-79-86-124）÷5=149.2

（1296-41-43-52-61-64-79-86-124-149）÷3=199

（1296-41-43-52-61-64-79-86-124-149-199）÷2=199

这时要构建一个大?系数去校正计算质数个数与实际质数个数之间的误差，取小于√1296～5之间的质数除√1296，即取36～5之间的质数除36，经计算且取其商的整数相加为23，再取199-23=176，这表示经计算在1296^2～1297^2之间有176个计算质数，实际有179个质数。它们之间误差3个质数。

从上面的计算可以看到，在1296^2～1297^2之间有1296个奇数，且5≤√√1296<9，取小于1296～3之间有199个质数，由大到小依次除1296需要199步，而取√1296～2之间有11个质数，由大到小依次除1296只需要11步，这样就极大的减少了计算步骤。且这两种方法所求出的计算质数个数，都要构建一个大?系数去校正计算质数个数与实际质数个数的误差。

故当奇数a≥3^2，在计算a^2～（a+1）^2之间数的质数个数时，当取小于等于√a～2之间质数由大到小依次除奇数a的计算步骤，与取小于等于a～3之间质数由大到小依次除奇数a的计算步骤，会成指数级数的减少。且当这两种方法中奇数a达到5≤√√a<9时，都需要构建一个大?系数去校正计算质数个数与实际质数个数的误差。

在a^2～（a+1）^2里，当√√a≥9时，与5≤√√a<9时计算一样，先求出a^2～（a+1）^2之间数的计算质数个数，再取一个大?系数去校正计算质数个数与实际质数个数的误差，不同之处是大?系数的取值范围不一样，当√√a≥9的取值范围是√a～2之间的质数除a，而5≤√√a<9的取值范围是√a～5之间的质数除a。

例如，在10000^2～10001^2之间有10000个奇数，取√10000～2之间有25个质数由大到小依次除10000，经计算有1202个质数。由于√√10000>9，故取√10000～3之间有24个质数除√10000，经计算且取其商的整数相加为121，取1205-121=1084，表示在10000^2～10001^2之间有1081个计算质数，实际有1081个质数，故它们之间误差数为3。

由于整个自然数能无缝隙的分解为a^2～（a+1）^2，在a^2～（a+1）^2之间有a个奇数和a个偶数，且每相临的两个a^2～（a+1）^2之间的数值个数都误差2个数。

①当自然数a≥3时，取小于等于a～3的质数除a，就能求出a^2～（a+1）^2之间数的质数个数。

②当自然数a≥3^2时，取小于等于√a～2的质数除奇数a，与取小于等于a～3的质数除a相比，相计算步骤是以指数级数的减少，且同样能求出a^2～（a+1）^2之间数的质数个数。

故当自然数a≥3^2时，a^2～（a+1）^2则可记为（a^2）^2～（a^2+1）^2，即a^4～（a^2～1）^2，由此就可以估算A^4～（A+1）^4之间数的质数个数。因为在A^4～（A+1）^4里，可以分解出2A+1个（a^2）^2～（a^2+1）^2，且在（a^2）^2～（a^2+1）^2里有a^2个奇数和a^2个偶数，它们可以无缝隙的连接A^4～（A+1）^4，在求A^4～（A+1）^4里的每个（a^2）^2～（a^2+1）^2之间数的质数个数，都是以小于等于a～2的质数由大到小依次除奇数a^2。

在A^4～（A+1）^4之间数的计算质数个数时，首先求出a^4～（a^2+1）^2之间数的计算质数个数，然后再乘2A+1，即为A^4～（A+1）^4之间数的计算质数个数。

其方程为：M（2A+1）

M为a^4～（a^2+1）^2之间数的计算质数个数。

这样在求A^4～（A+1）^4之间数的计算质数个数时，会以指数级数的扩大，且极大的缩短了计算时间复杂度。

当A^4≤20^4时，用方程M（2A+1）所计算A^4～（A+1）^4之间数的计算质数个数都小于实际质数个数，因为20^2加21^2之和开根号等于整数29，为最大两个连续自然数平方之和开根号等于整数，也就是两个连续自然数平方之和的最大勾股数。欧拉有一个计算质数的方程为n^2-n+41，当n<41时，所计算出的数都为质数，但欧拉的计算方程最小质数为41，如果以n^2-n为模型，而常数分别为41、11、5、3，且n都分别小于常数41、11、5、3，那么它们就能把小于n^2-n+41内所有质数都能求出来。

当a^4≥21时，用方程M（2A+1）所计算A^4～（A+1）^4里的计算质数个数都大于实际质数个数，且随着自然数a的不断增大，它们之间的误差数也会不断，故在计算A^4～（A+1）^4之间数的质数个数时，则不用大?系数，而是直接用a^4～（a^2+1）^2之间数的计算质数个数来计算A^4～（A+1）^4之间数的质数个数。

当A^4≥21^4时，计算A^4～（A+1）^2之间数的计算质数公式为：

M（1-M1/M÷12）（2A+1）

M为A^4～（A+1）^4里的a^4～（a^2+1）^2之间数的计算质数个数。

M1为（A+1）^4～（A+2）^4里的（a+1）^4～（（a+1）^2+1）^2之间数的计算质数个数。

12为常数。

2A+1表示为A^4～（A+1）^4可以分解出a^4～（a^2+1）^2型式的个数。

用方程M（1-M1/M÷12）（2A+1）去计算从25^4～87^4之间数的计算质数个数与实际质数个数相比都略微偏小，但所计算出的每一个A^4～（A+1）^4之间数的计算质数个数的正确率可达94/100，而当a^4≥88^4时，就会出现正负误差数，其正确率可达98/100。

下面为88^4～104^4的质数表。

88→953.5→104→154535→842→154528→7

88表示为88^4～89^4

953.5表示为88^4～（88^2+1）^2之间数的计算质数个数，其方法为取88^4～（88^2+1）^2之间数的奇数88^2依次由大到小除以小于等于88～2的质数。如88^2÷83=93.3，（88^2-93）÷79=96.8，……，（88^2-93-96-……-953）÷2=953.5

104表示为88^4～（88^2+1）^2之间的大?数，其方法为取88除以小于等于88～3的质数，取其商的整数相加，如88÷83=1.0，88÷79=1.1，……，88÷3=29.3。

154535表示为88^4～89^4之间数的计算质数个数，其方法为：953.5*（1-965/953.5*1/12）*（88+89）=154535.75。

842表示为88^4～（88^2+1）^2之间数的实际质数个数。

154528表示为88^4～89^4之间数的实际质数个数。

7表示为88^4～89^4之间数的计算质数减实际质数的正负误差数。

下面同理

89→965.0→105→158019→879→159519→-1500

90→986.5→107→163352→873→164704→-1352

91→1008→109→168741→922→16664→-923

92→1031→110→174501→939→174754→-253

93→1053→112→180143→952→180103→40

94→1076→113→186054→962→185608→446

95→1099→115→192034→1018→190831→1203

96→1123→116→198500→1044→196671→1826

97→1134→117→202328→1002→202354→-26

98→1157→118→208540→1040→208252→288

99→1181→120→215036→1057→214060→976

100→1205→121→221820→1081→220344→1476

101→1217→122→226048→1096→26304→-256

102→1241.5→124→233093→1184→232718→375

103→1253.5→125→237429→1158→238854→-1425

104→1278→126→244408→1187→245198→-790

105→1303→129→……→1231→…

从上面表格看到，随着自然数a的增大，每相临的两个A^4～（A+1）^4之间数的实际质数个数会有一定比例增长，不是完全相同等比例的增长，它们之间的误差数不是很大，用公式M*（1-M1/M÷12）*（2A+1）所计算的质数个数与实际质数个数就会有一定的误差。在88^4～104^4之间数的计算质数个数为3364581，实际质数个数为3364469，计算质数减实际质数正负误差数为112，故88^4～104^4之间数的计算质数平均正确率可达百分之九十九点九以上。

如何证明以上方法的正确性，可以从以下几个方面去考虑。

①、全体自然数只分为奇数与偶数，而奇数又分为质数与合数，合数为两个或两个以上的质数相乘的乘积，故一定先有质数，后有合数。在a^2～（a+1）^2里有a个奇数和a个偶数，用小于等于a～3的质数由大到小依次除奇数a，即减掉了a^2～（a+1）^2里的奇数a的质数倍数，所余下的数则为计算质数个数。

②、a^2～（a+1）^2可以无缝隙的把自然数连接起来，而A^4～（A+1）^4则可以完全分解为2A+1个A^4～（A^2+1）^2，故在a^2～（a+1）^2里有a个奇数和a个偶数，而在A^4～（A^2+1）^2里则有A^2个奇数和以A^2个偶数，它们都是用小于等于√A～2的质数由大到小依次除A^2，所余下的数为计算质数个数。

③、随着自然数的不断增大，在计算a^2～（a+1）^2之间数的质数个数时，会有越来越多的两个或两个以上的质数相乘的合数，故有漏掉的合数混入计算质数个数里，所以要构建大?系数去校正计算质数个数与实际质数个数的误差。随着自然数a的无限增大，会有越来越多的支点，就可以更多的构建不同大?系数，去校正它们之间的正负误差数。

④、在计算A^4～（A+1）^4之间数的质数个数时，当A^4≤20^4时，在以A^4～（A^2+1）^2之间数的计算质数为基础，去计算A^4～（A+1）^4之间数的计算质数个数都要小于实际质数个数。当A^4≥21^4时，在以A^4～（A^2+1）^z之间数的计算质数歹基础，去计算A^4～（A+1）^4之间数的计算质数个数都要大于实际质数个数。其增长率大于0.9，小于1，故取1-M1/M÷12为增大值。对常数12是否要作调整，或怎么有规律调整，就留给专业人员去作专业分析。

⑤、当A为质数，A+n为质数，A和A+n为相临的两个质数，在计算A^4～（A+1）^4至（A+n-1）^4～（A+n）^4之间数的质数个数时，它们都是取小于等于A～2的质数除A^2，故对A^4～（A+1）^4至（A+n-1）^4～（A+n）^4之间数的计算质数个数还可进行调整，因为当A<（A+A+n）/2时，所计算的质数个数略小于实际质数个数。当A>（A+A+n）/2时，所计算的质数个数略大于实际质数个数。

注：在计算任意充分大P^2范围内的质数个数时，取小于等于P～2里的质数由大到小依次除P^2，每除一次，取其商的整数减P^2，其余数再次作为被除数除以下一个质数，如些循环计算至2为止，所余数值即为P^2内的计算质数个数。其中具体细节和分解情况这里就不详谈，如果有对此感兴趣的网友或专业人士可以去详细分析。

当A^4足够充分大，在计算A^4～（A+1）^4之间数的质数个数，还有两种方法，分别为折叠法和切割法，由于有些因素还不太成熟，这里就不详谈。如果能找到它们之间的规律，将不再受条件因素限制，则可求出任意无穷大的A^4～（A+1）^4之间数的质数个数。

以上为小于给定数值的质数个数的一些证明方向。

整篇文章主要讲了三个内容好像与两个猜想有关。

①大数整数分解试乘法的零点是否为非凡零点。

②如何应用多项式对大数进行整数分解是否与P≠NP有关。

③上面已经简单介绍了，如何用公式去计算小于给定数值里的质数个数，这是否与黎曼猜想有关。

以上纯属个人观点。

如果以上三个内容能被证明成立，并得到推广，我想应该算数论里的一个全新发现吧。

最后附打油诗一首，送给正在为梦想而战的人。

十年寒苍泪，八载磨一剑。

其中辛酸累，又有谁人知。

作者：谢自飞

电话：18802087840

地址：四川.内江